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etwas Geometrie (aufgelöst von mir)

etwas Geometrie (aufgelöst von mir)

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Kalle Marx

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etwas Geometrie (aufgelöst von mir)

Ein einzelnes FC-Mitglied merkte an, daß ich schon lange kein mathematisches Rätsel mehr eingestellt habe und ich mußte ihm Recht geben.
Dem helfe ich nun hiermit ab - viel Spaß beim Grübeln, Marx.


Gegeben sei ein Kreisbogen mit dem Mittelpunkt M und den voneinander verschiedenen Endpunkten A und B.

1. Welche besonderen Winkel lassen sich (durch Ergänzen der Figur) definieren (Bezeichnung und Lage)?

2. Zum Beweis welcher mathematischen Sätze kann die ergänzte Figur verwendet werden?

Comments 22

  • Kalle Marx

    Kalle Marx 07/04/2010 19:13

    Hier scheint ja nicht mehr viel zu kommen, von daher löse ich das Rätsel mal auf. Neben dem oben schon erwähnten Sehnentangentenwinkelsatz suchte ich die folgenden Sätze:

    Kreiswinkelsatz
    Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel, mü) eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel, phi).
    Der Beweis dieser Aussage läßt sich in diesem Spezialfall
    etwas Geometrie 3
    etwas Geometrie 3
     Kalle Marx
    besonders leicht führen: Die Punkte M, B und P bilden ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis a. Die Basiswinkel bei B und P sind gleich groß (jeweils phi). Der dritte Winkel (mit dem Scheitel M) des Dreiecks MBP hat die Größe 180° - mü. Nach dem Innenwinkelsatz gilt dann: 2 phi + 180° - mü = 180° und somit 2 phi = mü, q.e.d.

    Im allgemeinen Fall
    etwas Geometrie 2
    etwas Geometrie 2
     Kalle Marx
    liegt M nicht auf einem Schenkel des Umfangswinkels phi. Die Seite r3 teilt dann phi und und mü in jeweils zwei Winkel, für die jeweils einzeln die obige Aussage gilt, da die Voraussetzungen des bewiesenen Spezialfalls erfüllt sind. Ergo gilt die Aussage auch für den gesamten Umfangswinkel und den gesamten Mittelpunktswinkel. Außerdem ermöglicht die Gültigkeit des Peripheriewinkelsatzes (siehe unten) eine Überführung des allgemeinen Falles in den Spezialfall, ohne die Allgemeinheit des bereits für den Spezialfall erbrachten Beweises einzuschränken.

    Sonderfall des Kreiswinkelsatzes
    Ein besonders wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn der gegebene Kreisbogen (blau) ein Halbkreis ist: In diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel gleich 180° (ein gestreckter Winkel), während der Umfangswinkel 90° mißt, also ein rechter Winkel ist. Damit erweist sich der Satz des Thales als Spezialfall des Kreiswinkelsatzes.

    Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz)
    Alle Umfangswinkel (Peripheriewinkel) über einem Kreisbogen sind gleich groß.
    Der Umfangswinkelsatz ist eine unmittelbare Konsequenz des Kreiswinkelsatzes: Jeder Umfangswinkel ist nach dem Kreiswinkelsatz halb so groß wie der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel). Also müssen alle Umfangswinkel gleich groß sein.

    Allerdings ist es unter Umständen notwendig den Peripheriewinkelsatz auf anderem Wege zu beweisen, da er ansonsten nicht als Bedingung in der Beweisführung des Kreiswinkelsatzes verwendbar ist. Der alternative Beweis erfolgt hier: http://www.mathe-online.at/mathint/trig/i.html#Peripheriewinkelsatz
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  • Rupert Kirchgasser

    Rupert Kirchgasser 04/04/2010 0:24

    So viel ich mich erinnern kann, haben wir das überhaupt ganz anders gelernt, mit anderen Definitionen und Begriffen (oder ich bin mathematisch gar nie so weit gekommen).

    Wünsch Dir ein schönes Osterfest!
    VG Rupert
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 01/04/2010 21:30

    Irgendwie habe ich den Eindruck, daß hier keiner mehr will oder weiter weiß. Daher nenne ich mal einen der gesuchten Sätze:

    Der Sehnentangentenwinkelsatz besagt, daß der Sehnentangentenwinkel (tau) genau so groß ist wie der Umfangswinkel (phi) und gerade halb so groß ist wie der Zentriwinkel (mü):
    tau = phi
    2*tau = mü
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 30/03/2010 20:32

    Schon mal richtig:
    Tau ist halb so groß wie mü. Oder anders gesagt:
    mü = 2*tau.

    Das ist auch schon einer der gesuchten Sätze - wie heißt er?
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  • Rupert Kirchgasser

    Rupert Kirchgasser 30/03/2010 0:58

    Da muss ich leider zugeben, das meiste vergessen zu haben...ist doch schon eine Weile her.
    Bis jetzt habe ich nur heraus gefunden, dass Tau halb so groß wie My sein muss.
    Wenn's sonst auch niemand lösen kann, kram ich noch mal meine alten Bücher hervor...(hab sie alle aufbewahrt).
    VG Rupert
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 22/03/2010 16:01

    Während Rupert nachdenkt: Hat niemand eine Idee?
    Ich lasse das Rätsel zunächst mal offen.
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  • Rupert Kirchgasser

    Rupert Kirchgasser 21/03/2010 1:27

    Da muss ich noch mal drüber nachdenken...
    ...inzwischen waren die Anmerkungen zu diesem Rätsel sehr interessant und amüsant.
    VG Rupert
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 19/03/2010 10:51

    Richtig: Ein Kreisbogen läßt sich zum Vollkreis ergänzen. Wenn man dann noch einen weiteren Punkt P auf diesen Kreis setzt, alle drei Sehnen zwischen den drei Punkten A, B und P sowie die Tangente durch B konstruiert, sieht das so z.B. aus:
    etwas Geometrie 2
    etwas Geometrie 2
     Kalle Marx

    Die Ausführungen zum Umfang und zur Länge des Kreisbogens sind zwar alle richtig, haben aber nichts mit den gesuchten Sätzen zu tun. Für diese sind die eingezeichneten Winkel mü, phi und tau wichtig.
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  • Apple Manop

    Apple Manop 19/03/2010 9:21

    Hallo,

    Kreisbogen ergänzt man sinnvoll mit Rest des Bogens. Logisch?

    Umfang ist pi mal D. Oder pi mal 2r.
    Kreisbogen entspricht: U mal alpha/360. Oder Pi mal 2r mal Alpha/360 = Alpha*Pi*r/180.

    Mehr fällt mir nicht mehr ein zu der Aufgabe!
    Nur noch das was Stephanie v. L. erkennt. Ein Stück Kuchen. Das wäre dann für mich die (UN)LOGISCHE Konsequenz.

    GG
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 18/03/2010 20:39

    Mal ein Hinweis: Wie könnte man denn einen Kreisbogen einfach und sinnvoll ergänzen?
    Das allein reicht allerdings auch noch nicht aus. Es muß noch eine Winzigkeit hinzugefügt werden.

    Zu der Sache mit der Torte: Ist zwar anschaulich, trägt so aber nicht direkt zur Lösung bei.
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  • Stephanie v. Lichtenstein

    Stephanie v. Lichtenstein 18/03/2010 19:02

    ich empfinde die figur als vollständig.
    für mich zeigt sie ein grosses stück torte.
    beweisen könnte ich damit nur den satz:
    "jedem das seine, aber mir das meisste"
    ansonsten fallen mir zu winkeln nur noch winkeladvokaten ein.
    :-(
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 18/03/2010 14:16

    O.k., das klingt ja soweit ganz nett und ich bin der letzte, der anderen Leuten ihren Glauben nimmt.

    Aber was ist nun eigentlich mit dem Rätsel?
    Die Figur ist noch nicht vollständig und ein mathematischer Satz wurde auch noch nicht genannt.

    P.S.: Ich bin nicht in Asien, sondern ganz gern mal nachtaktiv.
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  • Apple Manop

    Apple Manop 18/03/2010 7:22

    Guten Morgen Marx,

    ich bin PLATT.

    Ich hätte jede Wette gehalten, dass Du schläfst um 4:46.
    Bist Du etwa auch in Asien?

    Mit Deiner Aussage:" Und eine wissenschaftliche Theorie gilt im allgemeinen so lange als richtig, bis sie widerlegt wird." Hast Du Recht. Aber hier erkennst Du, dass ich diese Denkweise schon fast abgelegt habe.
    Ich denke:
    Eine wissenschaftliche Theorie.......als FALSCH, bis sie bewiesen ist. Und zwar an jedem Ort zu jeder Zeit.
    Klingt unlogisch?
    Wer hätte vor Einstein gedacht, das die Zeit relativ ist? Wer hätte vor der Entdeckung gewaltiger Gravitationsanomalien gedacht, das die Gesetzte der Physik ev verändert werden müssen?
    Somit liege ich bestimmt nicht falsch!
    EINE WELT, die durch Gesetze der Wissenschaft beschrieben wird, hat Vorteile, erklärt Einiges, aber sie erfasst nicht das Gesamte.

    Kurz um: RELATIV NÜTZLICH. Mehr nicht.

    Die Wechselbeziehung zwischen Vielem oder Allem wird nicht erfasst.

    Ich versuche, die Gesetze der "UNLOGIK" zu ergründen. Macht mir Spaß. Das gelingt aber nur, wenn man Alles mit einbezieht. Und dann gehts an die Börse:-)

    Gruß Guenter
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 18/03/2010 4:46

    Moina Guenter!
    Und, überrascht?

    Die Sehne von A nach B gehört zur vollständigen Figur dazu, ja. Das ist aber noch nicht alles. Allerdings sollen weder Streckenlängen noch Flächeninhalte berechnet werden. Die gesuchten Sätze treffen lediglich Aussagen über Winkel.

    Zu IO: Da hast Du natürlich Recht.
    Allerdings ist es eine wissenschaftliche Theorie, daß alle Naturgesetze überall im Universum gleich sind. Und eine wissenschaftliche Theorie gilt im allgemeinen so lange als richtig, bis sie widerlegt wird.
    Nur bei Schwarzen Löchern und ähnlichen Gebilden ist man sich bzgl. der Gültigkeit der Gesetze nicht so sicher.

    Deine Erkenntnis über die thailändische Mentalität und Deine Schlussfolgerungen daraus klingen sehr interessant. Ich habe zwar hier durchaus häufig Kontakt zu einigen Menschen allerlei südostasiatischer Herkunft, war aber selbst noch nicht dort. Hier in D scheinen die meisten sich schnell zu akklimatisieren, zumal es alles Kinder oder Jugendliche sind.

    Einen schönen Morgen noch. Gruß, Marx
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  • Apple Manop

    Apple Manop 18/03/2010 4:36

    Hallo Marx,
    wie ich Dich kenne, schläfst Du noch wenn das Mail bei Dir eintrudelt.

    Ergänzend würde ich die Sehne zeichnen.

    Mit der Sehne wird die Segmentfläche berechnet.
    Mit s und h der Radius bestimmen.
    Mit r und alpha der Bogen.

    Aber viel wichtiger:
    Du magst Recht haben, das matematische Sätze vielerorts gleich sind. Aber auf IO hat das noch Niemand bewiesen!
    Und in Thailand sind fast alle Gesetze der Logik außer Kraft gesetzt.

    Falls Du es nicht glaubst, verbringe 2 Wochen mit einer Thaifrau - und Dein Weltbild wird sich grundlegend verändern.

    Ich komme hier mittlerweile mit folgender Erkenntnis gut zurecht:
    Ich denke nicht, welche logischen Schlüsse könnte mein Gegenüber aus dieser und jener Aussage oder Handlung ziehen, sondern ich denke nur noch, welche unlogischen Schlüsse kann man aus ..... ziehen. Das ist zwar auch schon wieder eine Art Logik - aber eben anders. Meine Erfolgsquoten liegt nach 6 Monaten, bei 80%. (Es fehlen: 10% Taxifahrer, die Einen immer bescheißen und weitere 10% Frauen, die nie zu erfassen sind.)

    Sehr hilfreich ist das Buch: DAS TAO DER PHYSIK, Fritjof Capra, der die Konvergenz westlicher Wissenschaft und östlicher Philosophie beschreibt.
    Gruß Guenter
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